זוגות של גופים שמימיים לא רק נמשכים זה לזה, הם גם מעוותים זה את זה. מספרי לאב מתארים את מידת העיוות הזה, מהגאות בכדור הארץ ועד זוגות של כוכבי ניטרונים. והכי מדהים: את המספרים האלה אפשר לזהות באותות גלי כבידה, וללמוד מהם על אחד החומרים הדחוסים והקיצוניים ביותר ביקום.

---

פרסומת

---

ולנטיינ'ס דיי הוא הזדמנות מושלמת לדבר על Love numbers – מספרי לאב. כן, הם באמת נקראים ככה, אבל לא בגלל הקשר רומנטי אלא בשל אדם אמיתי בשם אוגוסטוס אדוארד האף לאב (A. E. H. Love), מתמטיקאי וגאופיזיקאי בריטי שחקר בתחילת המאה ה־20 את תגובתו של כדור הארץ לכוחות גאות, וב־1909 ניסח את הרעיון במאמר, "היענותו של כדור הארץ לכוחות מפריעים" [1].

אז אומנם הפוסט הוא לא על רומנטיקה, אבל הסיפור שלנו בהחלט מערב זוגות ומשיכה.

כדי להבין מה מספרי לאב מודדים, עלינו להבין מהו כוח גאות. לשם כך נחזור לתופעה המוכרת של גאות ושפל. הירח מושך בעוצמות מעט שונות נקודות שונות על פני כדור הארץ, כתלות במרחקן ממנו. כוח הגאות הוא הכוח שנובע מההפרשים הללו בכוח הכבידה בין נקודות שונות. כלומר, מקור הגאות אינו בכוח הכבידה, אלא בהפרשים בכוח הכבידה. חוסר האחידות במשיכה הכבידתית הוא שמרים את האוקיינוסים בצד הפונה לירח ובצד הנגדי. זו גם הסיבה לכך שהגאות הנוצרת בהשפעת הירח – הקרוב אלינו – חזקה מהגאות שנוצרת בהשפעת השמש הרחוקה, למרות שהשמש מושכת את כדור הארץ בעוצמה גבוהה יותר. להסבר מפורט, ראו [2]. אותו עיקרון בדיוק עובד גם על גופים אחרים: עוצמת הכבידה שבה כל גוף מושך את הגוף השני אינה אחידה על פני הגוף; וחוסר האחידות הזאת משרה כוח גאות שמנסה למתוח את הגוף על הציר המחבר את הגופים, ולכווץ אותו בכיוונים האחרים (ראו איור 1).

איור 1: שני גופים (למשל גופים שמימיים), אשר על כל אחד מהם פועל שדה הגאות של הגוף השני שמנסה למתוח אותו על הציר המחבר את הגופים ולכווץ אותו בכיוונים האחרים (האיור, כמובן, מוגזם. האפקט לרוב קטן בהרבה). כך גם עובדת הגאות בכדור הארץ תחת השפעת הירח. ראו איורים נוספים ב־[2].

עכשיו מגיעה השאלה שמובילה למספרי לאב: כשמופעל על גוף שדה גאות, עד כמה וכיצד הוא מתעוות? מידת העיוות תלויה בעיקר במבנה הפנימי ובתנאים הפיזיקליים – אילו שכבות יש בפנים, עד כמה הן מוצקות או נוזליות, ועד כמה החומר יכול להתעוות או לזרום. לכן, עבור אותו שדה גאות, גוף אחד יתמסר לשדה הגאות ויקבל צורה אליפטית (כמו הגופים באיור 1), ואילו גוף אחר יקשיח עורף וישתנה הרבה פחות. 

מספרי לאב הם אוסף של מספרים שמקשרים בין עוצמת שדה הגאות שמופעל על גוף למידת התגובה שלו. הם מוגדרים כמקדמי תגובה: הם אומרים כמה עיוות מתקבל כשמפעילים שדה גאות נתון. מספר לאב גדול אומר: "קל לעוות אותי, אני נענה יותר לגאות". מספר לאב קטן אומר: "אני קשיח יחסית, הגאות כמעט לא משנה אותי". ולמה יש צורך באוסף שלם ומספר אחד לא מספיק? כי "עיוות" אינו דבר יחיד – גוף יכול להתעוות בצורות שונות. לכל צורת עיוות יש "מדד היענות" משלה, ולכן לכל גוף יש משפחה של מספרי לאב, שכל אחד מהם מודד עד כמה קל לו להתעוות בצורה אחת מסוימת.

אבל העיוות הזה לא מסתכם בשינוי צורה בלבד: הוא גם משנה את שדה הכבידה של הגוף עצמו. כלומר, הגוף לא רק "מרגיש" גאות, הוא גם מגיב לה ומייצר חתימה כבידתית נוספת. עובדה זו הופכת את מספרי לאב מתיאור מתמטי לכלי תצפיתי שימושי. לדוגמה, בעזרת מעקב רדיו מדויק אחר חלליות במסלול סביב מאדים מדדו את אחד ממספרי לאב שלו, והערך שהתקבל הראה שלמאדים יש כנראה ליבה שהיא נוזלית, לפחות בחלקה, ואף אפשר להעריך את גודלה [3].

 אם כן, מספרי לאב מלמדים אותנו על התנאים הפיזיקליים שמתקיימים בגופים שמימיים. 

בין העצמים המסתוריים ביותר ביקום שלנו נמצאים כוכבי ניטרונים: שאריות של כוכבים מסיביים שקורסים בסוף חייהם [4]. בניגוד לשמש, הם כבר לא "בוערים" בהיתוך גרעיני שמהווה כוח נגדי לכבידה; מה שמונע מהם לכרוע תחת הכבידה הוא לחץ קוונטי של הניטרונים (הנקרא גם "לחץ ניוון" שמונע מהניטרונים להתקרב יותר מדי זה לזה). כוכבי ניטרונים עשויים מהחומר היציב הדחוס ביותר שמוכר למדע: הם כל כך דחוסים, שכפית מהחומר שלהם שוקלת סדר גודל של עשרה מיליון טונות. מה בדיוק קורה בתוכם עדיין לא מובן לנו עד הסוף, וכאן מספרי לאב נכנסים לתמונה: אולי נוכל לנצל אותם כדי להציץ פנימה.

אבל איך מודדים תגובה לכוחות גאות כשמדובר בעצמים המרוחקים מאות מיליוני שנות אור, שאנחנו אפילו לא יכולים לראות? היום זה אפשרי, בזכות גלאי גלי כבידה. כששני עצמים קומפקטיים (חורים שחורים או כוכבי ניטרונים) מסתחררים זה סביב זה, הם פולטים גלי כבידה – אדוות זעירות במרחב־זמן [5]. האות שמגיע לגלאים כמו LIGO ו־Virgo עולה בתדר ובעוצמה עד לרגע ההתנגשות וההתמזגות של העצמים. מהאות אפשר ללמוד קודם כל על כך שהיה מיזוג, אבל גם מי היו המשתתפים ומהן התכונות שלהם.

אם שני העצמים הם כוכבי ניטרונים, כוחות הגאות ביניהם מתחילים לעוות אותם עוד לפני ההתנגשות. העיוות הזעיר הזה משנה במעט את הדינמיקה של הסחרור – ובעיקר את הפאזה של גלי הכבידה, כלומר את המיקום המדויק של ה"פסגות" ושל ה"שקעים" באות [6] (ראו איור 2). זה שינוי קטן, אבל מדיד: הפאזה היא אחד הדברים שהגלאים יודעים לקבוע במדויק. כך אפשר, מתוך האות הנמדד של גלי הכבידה, לקבל רמזים על מה שכמעט בלתי אפשרי למדוד במעבדה – איך חומר מתנהג בצפיפויות קיצוניות בתוך כוכב ניטרונים. במילים אחרות, כשאנחנו מודדים מספרי לאב ממערכת זוגית של כוכבי ניטרונים, אנחנו מציצים אל קצה הפיזיקה הגרעינית ממרחק של מאות מיליוני שנות אור!

איור 2: המחשה של פאזה מוזזת. שני האותות המוצגים זהים עד כדי הפרש פאזה, או במילים אחרות: מיקום הפסגות והשקעים של האחד מוזז ביחס לאחר. את הפרש הפאזה הזה ניתן למדוד בגלאי גלי כבידה, וכך לקבל את מספרי לאב (בפועל, הפרש הפאזה אינו מספר קבוע אלא תלוי תדירות).

בקיצור, אם יש דבר רומנטי בפיזיקה, זו העובדה ש־"Love" הוא מספר שמודד כמה גוף נענה לשדה הגאות של בן־זוגו.

תייגו מישהו עם מספר לאב גדול ומישהו עם מספר לאב קטן, ואל תגלו להם מי זה מי…

עריכה: שיר רוזנבלום-מן

---

מקורות

[1] המאמר המקורי של לאב: A. E. H. Love, The Yielding of the Earth to Disturbing Forces, Proc. A 82 (551): 73–88 (1909).

[2] על גאות ושפל - באתר מדע גדול, בקטנה

[3] C. F. Yoder, A. S. Konopliv, D. N. Yuan, E. M. Standish and W. M. Folkner, Fluid core size of Mars from detection of the solar tide, Science 300(5617):299-303 (2003).

[4] על מותם של כוכבים - באתר מדע גדול, בקטנה

[5] על גילוי גלי כבידה - באתר מדע גדול, בקטנה

[6] E. Flanagan and T. Hinderer, Constraining neutron-star tidal Love numbers with gravitational-wave detectors, Phys. Rev. D 77, 021502(R) (2008).