צפייה בשקיעת החמה זו חוויה נעימה ורומנטית לכל הדעות, אבל ידעתם שתוכלו באותה הזדמנות גם למדוד בקירוב את רדיוס כדור הארץ? כל מה שתצטרכו זה שעון עצר, מחשבון וקצת טריגונומטריה.

פרסומת

השיטה שנציג פשוטה, ומסתמכת על סיבוב כדור הארץ.

1. לכו לים, או לכל מקום אחר שתוכלו לצפות ממנו בשקיעה.
2. שכבו על שפת הים, פניכם אל האופק. ברגע שבו תראו את קרן השמש האחרונה נבלעת מאחורי האופק, הפעילו את שעון העצר (ראו איור א').
3. קומו מהר על רגליכם. ראו זה פלא: השמש שבה להופיע מעל האופק! תיהנו לכם משקיעה שנייה, וברגע שקרן השמש האחרונה נעלמת, עצרו את שעון העצר (ראו איור ב').
4. זה הזמן לקחת את הנתונים ולהעריך בעזרתם את רדיוס כדור הארץ. תחת הקירוב שנעבוד בו, הנתונים היחידים שנזדקק להם הם הזמן שמדדתם בין שתי השקיעות, הגובה שלכם, ומשך השלמת סיבוב מלא של כדור הארץ סביב צירו (נוח לעבוד בשניות).

איור א': צפו בשקיעה בשכיבה, וכאשר השמש תיעלם מאחורי האופק, התחילו את שעון העצר ועברו לעמידה.

איור ב': לאחר שתעברו לעמידה, תזכו בשקיעה נוספת. כאשר תיעלם השמש בשנית, עצרו את מדידת הזמן.

נתחיל מהעובדה שהיחס בין משכי זמן שונים (במקרה שלנו: הזמן שמדדתם ויממה אחת) שווה ליחס הזוויות שכדור הארץ משלים במשכי הזמן האלו. הזווית שבה כדור הארץ מסתובב ביממה היא כמובן 360 מעלות, ואנו מקבלים את הקשר הפשוט: הזמן שמדדתם, חלקי אורך יממה, שווה לזווית שהשלים כדור הארץ, חלקי 360 מעלות.

מכאן אפשר לחשב את הזווית (במעלות): 360 כפול הזמן שמדדתם (בשניות), חלקי משך יממה (86,400 שניות). למשל, נניח שמדדתם 10 שניות – אז הזוית שכדור הארץ השלים בזמן שחלף היא θ=0.0417 מעלות.

כעת נניח שהשמש נראית חוצה את האופק אנכית (דמיינו אותה נעה ישירות מטה, לא באלכסון). תחת הנחה זו, הזווית שנוצרת מסיבוב כדור הארץ בזמן שנמדד מתארת בקירוב עד כמה השמש ירדה מתחת לאופק במשך אותו זמן. בפועל השמש לא תמיד חוצה את האופק אנכית: קצב הירידה שלה מתחת לאופק תלוי גם בקו הרוחב וגם בעונה בשנה. לכן התוצאה שנקבל תהיה מדויקת יותר ליד קו המשווה ובסביבת ימי השוויון (במרץ ובספטמבר), ופחות מדויקת ככל שמתקרבים לקטבים או סמוך ליום הארוך או הקצר ביותר בשנה (שיא החורף ושיא הקיץ).

לצורך פשטות, נמשיך תחת ההנחה הזו, ונקשר את הזווית שחישבנו לשני האורכים בבעיה (רדיוס כדור הארץ והגובה שלכם) בעזרת טריגונומטריה פשוטה (ראו איור ג').

איור ג': המשולש ישר הזווית שמתקבל בניסוי, והקשרים בין הפרמטרים השונים. את הקשר בין הזוית θ ובין הזמן שנמדד T אפשר להציב בביטוי לקבלת הרדיוס R.

אם נתבונן בתרשים הניסוי שערכנו, נזהה משולש ישר זווית שאחד הניצבים שלו הוא רדיוס כדור הארץ (מתאים לרגע הפעלת שעון העצר), והיתר שלו הוא רדיוס כדור הארץ פלוס הגובה שלכם (מתאים לרגע עצירת שעון העצר). הזווית שנרצה למדוד כלואה בין שני ישרים אלו, לכן היחס ביניהם שווה לקוסינוס הזווית.

cos θ = R / (R + H) 

אם נפתור עבור רדיוס כדור הארץ, נקבל:

R = H * cos θ / (1 − cos θ)

נציב את הזווית שחישבתם ואת הגובה שלכם, והרי לנו הערכה לרדיוס כדור הארץ, היישר משפת הים! (למשל, בהמשך לדוגמה הקודמת, נניח שהגובה שלכם 160 ס"מ ושמדדתם 10 שניות בין שתי השקיעות – אז הרדיוס שתחשבו הוא 6050 ק"מ. לא רע ביחס לרדיוס הממוצע של 6370 ק"מ!)

נעיר שתנאי האטמוספרה בעת המדידה יכולים לשבש מעט את התוצאה – ייתכנו אפקטים אטמוספריים שמעוותים את מראה קרני השמש ברגעי השקיעה (ראיתם פעם שמש שעומדת פחוסה מעל האופק בשקיעה? זו אשליה, כמובן [2]), וזה יפגע בדיוק של משך הזמן שתמדדו. ועדיין, גם תוצאה הסוטה למשל בעשרה אחוזים מרדיוס כדור הארץ הידוע, היא מרשימה מאוד בשביל תוצאה שחושבה בכמה דקות בחוף הים!

לסיום, נציג כמה וריאציות על השיטה הפשוטה שהצגנו כאן:

כדי להגיע לדיוק טוב יותר בזמן המדידה, תוכלו להיעזר במגדל שגובהו ידוע לכם (רצוי מאוד שתהיה בו מעלית!). התחילו קרוב ככל האפשר לתחתית המגדל (למשל, בשכיבה מחוץ למגדל, For science!). ברגע שתראו את קרן השמש האחרונה נעלמת, התחילו את שעון העצר ועלו מהר לראש המגדל. עצרו את שעון העצר כאשר תראו את קרן השמש האחרונה נעלמת שוב, הפעם ממיקומכם בראש המגדל. בחישוב זהה לזה שהצגנו קודם, כאשר גובה המגדל מחליף את הגובה שלכם, תוכלו להגיע לתוצאה מדויקת יותר. כמובן שאפשר גם לבצע את הניסוי עם חבר או חברה שיעמדו בראש המגדל וידווחו מתי הם רואים את קרן השמש האחרונה נעלמת.

וריאציה נוספת: אם אתם אנשים של זריחה יותר מאשר של שקיעה, אל חשש! תוכלו למדוד את רדיוס כדור הארץ בדיוק באותו אופן גם בשעת זריחה. ההבדל הוא שהפעם תצטרכו להתחיל בעמידה, ועם הופעת קרן האור הראשונה השתטחו מהר על הארץ – אז תיעלם שוב השמש – ומדדו את הזמן העובר עד הופעת קרן האור הראשונה בשנית. בהפרש זמנים זה תוכלו להשתמש בדיוק באותו אופן כמו בעת השקיעה.

ודרך נוספת, למתקדמים: השתמשו ברחפן וכך תוכלו לצפות במספר שקיעות בזמנים שונים ובגבהים שונים. ככל שתאספו יותר נתונים המדידה תהיה מדויקת יותר [4].

כך או כך, מקווים שתיהנו מהניסוי ומוזמנים לספר לנו בתגובות מה קיבלתם!

עריכה: שיר רוזנבלום־מן

מקורות:

1. מדידת כדור הארץ לפני 2300 שנים – באתר מדע גדול, בקטנה
2. על העיוות בצורת השמש בעת שקיעה
3.  איך עוד תוכלו להיווכח שכדור הארץ הוא כדור? באתר מדע גדול, בקטנה
4. סרטון שיצר כותב בעמותה, עדי ארמוני: כיצד ניתן למדוד את רדיוס כדור הארץ באמצעות רחפן