כולם מדברים על הקורונה. מונחים במתמטיקה כמו "התפלגות סטטיסטית" ו"השטחת עקומה" נהיו שגורים בפי עיתונאים ואנשי ציבור, ויש גידול עצום במספר המאמרים בנושא. המודלים המתמטיים שהמומחים משתמשים בהם די מורכבים, אולם ניתן לעיתים לפשט אותן כדי לרכוש אינטואיציה. נספר על מודל מתמטי כזה: "המודל הלוגיסטי"

פרסומת

כדי להסביר בצורה קלילה, נשתמש באנלוגיה ונהפוך בסיפור את התפשטות המגפות להתפשטות שמועות [1]: רב סרן שמועתי נוהג להפיץ שמועות מבהילות שלהן מעטים מוכנים להאמין ולהפיץ, נניח בהסתברות p של 10%. ביום הראשון שמועתי פוגש עשרה אנשים, ולכן בערבו של יום יהיו כנראה שני מפיצי שמועות (כולל אותו). ביום השני, כל אחד משני המפיצים נפגש עם עשרה אנשים שונים, ולפיכך יהיו ארבעה מפיצים, וכולי. בהנחה שמפיצי השמועות מנסים להפיץ כל יום את השמועה ל E אנשים (10 בדוגמה) שלא הכירו אותה ובהסתברות להצלחה p , מספר המפיצים ביום t לפי נוסחת סדרה הנדסית:

(1+E*p)^t

כעבור עשרים ושבעה ימים, מספר מפיצי השמועה יעלה על מיליון. זו העוצמה של גידול מעריכי! כדי לא להגזים, נניח שהסיכוי להפצה הוא רק p=0.015 , ולכן  E*p=0.15. כיצד ישתנו התוצאות? אם נצייר את העקומה שמתארת את מספר המפיצים בכל יום, נראה שכאן נזדקק לכמאה ימים כדי שמספר המפיצים יחצה את המיליון. אכן, הקטנת ההסתברות עיכבה את הזמן עד לחציית קו המיליון אבל לא שינתה את התוצאה הסופית.

תיאור זה הוא אנלוגיה למודל הפשוט להתפשטות מגפות: במקום אדם שמפיץ שמועה, ניתן לחשוב על אדם שנדבק ויכול להדביק אחרים. למשל, בחישוב שנעשה בסרטון המצוין [2], נעשה ניסיון להתאים את התפשטות הקורונה במדינות מחוץ לסין למודל מעריכי עם הפרמטר E*p=0.15 כמו בדוגמה.

אולם, כפי שמומחים מזהירים וגם כתבנו [3], אסור לקפוץ למסקנות ולשלוף תחזיות שכן המודל המתמטי מורכב הרבה יותר. בניגוד להנחה במודל המעריכי, במציאות גודל האוכלוסייה הוא סופי, לכן, כאשר חלק משמעותי מהאוכלוסייה כבר נחשף, קצב הפצת המחלה יקטן עד שייעצר לגמרי. נניח שבעיר שלנו יש מיליון תושבים ומספר המפיצים בצבא של שמועתי כבר עבר חצי מיליון. אם כל אחד מהמפיצים הללו נפגש ביומו עם 10 אנשים באקראי, מחציתם כנראה יפטירו "שמענו כבר!". לכן מספר המפגשים האפקטיביים של מפיץ השמועה ביום ירד כנראה מ-10 ל-5 אנשים.

באופן כללי, מספר המפגשים האפקטיבי תלוי בהסתברות למצוא אוזן כרויה שלא שמעה את השמועה. מידול מתמטי של גידול מעריכי שמגיע בסוף לרוויה מוביל לפונקציה שנקראת "פונקציה לוגיסטית". הגרף שצירפנו באתר מתאר את מספר המפיצים כתלות בזמן לפי הפונקציה הלוגיסטית ולפי פונקציה מעריכית. בהתחלה, שתי הפונקציות מתלכדות, אולם בהדרגה קצב הגידול (שיפוע  המשיק) של הפונקציה הלוגיסטית הולך וקטן והיא שואפת לאסימפטוטה אופקית, שהיא גודל האוכלוסייה.

קיימת נקודה דרמטית בגרף של הפונקציה הלוגיסטית, נקודה שנקראת "נקודת פיתול" שבה התמונה משתנה. גם לפניה וגם אחריה יש גידול יומי של מספר המפיצים, אולם בנקודה זו קצב הגידול היומי שעד כה הלך וגדל, משנה מגמה ומתחיל  לקטון. כדי להדגים זאת, בנינו מודל באקסל (ציור באתר) ומצאנו שאירוע זה מתרחש אחרי 100 ימים: ביום ה-98 נוספו 34,617 מפיצי שמועות, ביום ה-99 נוספו 34,905 ואז ביום ה-100 נוספו רק 34,854 – סוף כל סוף נרשמה ירידה מסוימת בקצב הגידול היומי של מפיצי השמועה!

פסקה לחובבי אנליזה: אתם ודאי זוכרים שנקודת פיתול היא נקודה שבה שיפוע המשיק לפונקציה (מה שקרוי בפי המתמטיקאים נגזרת)  משנה את מגמתו. בגרף שבאתר הוספנו גם את עקומת מספר המפיצים החדשים שנוספו בכל יום. עקומה זו נראית כמו פעמון ומקבלת את המקסימום בנקודת הפיתול. זאת היא העקומה שמדברים עליה רבות בעיתונות, ולפעמים מבלבלים אותה עם העקומה של המספר המצטבר של המפיצים.

אולם מדוע זה חשוב? נדמה באנלוגיה שלנו שהשמועה המופצת די מבהילה, ואחוז אחד מאלו שנחשפו אליה נכנסים לחרדה ומתקשרים בערבו של יום למוקד לעזרה נפשית. לפי המודל, כדי לעמוד בעומס, צריך לאפשר למוקד לטפל ב-349 שיחות בלילה אחד. מה לעשות שאין מספיק מוקדנים? המערכת עלולה לקרוס! לשם כך, יש צורך להאט את קצב הפצת השמועה (למשל: לכפות בידוד, או עוד יותר גרוע לנתק אנשים מהטוויטר...). אם נצליח להקטין במקצת את הקצב, למשל: E*p=0.10, אזי לפי החישוב שביצענו באקסל נוכל לעמוד בעומס של 238 שיחות בלילה, שיגיע רק אחרי 145 ימים. זה מה שקוראים בעיתונות, כמו למשל במאמר שפורסם באחרונה בניו יורק טיימס [4] , "לשטח את העקומה".

בקיצור, לעכב את גידול מספר המפיצים ולהקטין את העומס על מערכת הבריאות זה מה שניתן לעשות. גם חשיבה חיובית כנראה עוזרת בימים אלו,  אבל את זה לא הצלחנו למדל באקסל.

(תודה לד"ר עידו אליעזר ופרופ" נצה מושוביץ הדר על הסיוע)

מקורות וקישורים:

[1]  וירוסים ורכלנים

[2] מתמטיקה וקורונה - סרטון הסבר

[3] איך לא למדל מגפה

[4]  לשטח את העקומה בניו יורק טיימס