בקטנה: מה משותף לפיזור הקפאין בכוס הקפה שהכנתי הבוקר, הטמפרטורה שלה בעודה זנוחה על השולחן, וריכוז הסוכר בדם שלי אחרי שסוף סוף שתיתי אותה? דעיכה אקספוננציאלית: דעיכה שבנויה על פעולות חזקה, במקום על חיבור, חיסור וכפל.
בכל התהליכים שהזכרנו קודם קצב התהליך נחלש עם התקדמותו. למשל, שינוי טמפרטורת הקפה: הוא ככל שההפרש בין טמפרטורת הקפה לטמפרטורת החדר גבוה יותר - הקפה יתקרר יותר מהר. זאת אומרת שאנחנו מתחילים בקפה שחם בהרבה מהחדר, ולכן מתקרר מהר, אבל ככל שהוא מתקרר יותר גם הפרש הטמפרטורות בינו לבין החדר יורד, ולכן הוא מתקרר לאט יותר - קצב הקירור של הקפה תלוי, למעשה, בטמפרטורה שלו, שתלויה… בקצב הקירור. גם פיזור סוכר בדם הוא תהליך דומה: אחרי שאנחנו אוכלים, הלבלב מפריש אינסולין שמכניס סוכר לתאים ומוריד את ריכוזו בדם. אינסולין מתפרק יחסית מהר, אז כל עוד רמת הסוכר בדם היא מעל סף מסויים, הלבלב צריך להפריש אינסולין. כדי לוודא שלא יהיה יותר מדי או פחות מדי אינסולין, הלבלב מפריש אינסולין כתלות בכמה סוכר הוא "מרגיש" בדם: הרבה סוכר = הרבה אינסולין, ולהפך. בשני המקרים יש לנו תהליך שבו-זמנית משפיע ומושפע ממצב המערכת. ואם נרצה איכשהו לדעת כמה זמן ייקח לקפה להתקרר עד לטמפרטורת החדר? בשביל זה אנחנו צריכים לדעת מה קצב ההתקררות, אבל הקצב תלוי בטמפרטורה, שתלויה בקצב... הצילו! נלכדנו במעגל קסמים! איך נצא ממנו?
לשימחתנו המתמטיקה פתרה לנו את הבעיה. לביטוי המתימטי שמתאר את טמפרטורת הקפה (או כמות האינסולין) בכל רגע בזמן צריכה להיות תכונה מאוד ספציפית - הגודל של קצב השינוי שלו צריך להיות פרופורציוני לביטוי עצמו. מבחינה מתמטית, "ביטוי" שתלוי בדברים משתנים כמו זמן נקרא "פונקציה", וקצב השינוי שלו נקרא נגזרת, דיפרנציאל בלעז. כלומר, בשפה המתמטית נגיד שאנחנו מחפשים פונקציה שפרופורציונית לדיפרנציאל של עצמה. קבלנו מה שהמתמטיקאים קוראים לו משוואה דיפרנציאלית - משוואה המקשרת בין פונקציה לנגזרת שלה. הפתרון למשוואות כאלה מוכר וידוע - פונקציית הדעיכה האקספוננציאלית שהזכרנו קודם. נא הכירו מספר חביב: e שמו (שווה בערך ל-2.72, הוא לא מספר רציונלי). הזכרנו אותו כבר כאן [לקשר לפוסט של דורון בנושא]. אחת התכונות הנחמדות שלו היא הדרך שבה הוא מגיב לחזקות: הנגזרת של הפונקציה e בחזקת מקדם כפול x שווה למקדם של x כפול הפונקציה המקורית - בדיוק מה שחיפשנו. הידד.
למזלנו, הפתרון הזה ישים להמון מקרים: מעברי חום, מעברי חומר ("דיפוזיה"), פעילויות שדורשות שימוש בזרזים ("זרז" הוא חומר שעוזר לתגובה הכימית, אבל לא משתנה בגללה), התפרקות רדיואקטיבית...ואפילו כלכלה.
עוד למזלנו, אם לא אכפת לנו ממספרים מדוייקים, אפשר לנבא את ההתנהגות של כל הנ"ל באופן איכותי כאחת משלוש אפשרויות: אם המקדם של x שלילי, קצב השינוי ילך וירד עד שהמצב יתייצב באיזשהו אופן ("דעיכה אקספוננציאלית").  אם המקדם חיובי (זה די נדיר), הקצב דווקא יעלה עד שהכל יקרוס (מי אמר "תגובת שרשרת"?). ואם המקדם הוא בכלל לא מספר ממשי...זה לפעם אחרת.
וזה, חברים, למה משוואות דיפרנציאליות משפיעות על כולנו, גם אם לא למדנו עליהן.