
למה גלגלי מכונית מסתובבים לאחור בזמן שהמכונית נוסעת קדימה? הדרך שבה נראות לנו תופעות מחזוריות שונות מושפעת מהאופן שבו אנו מודדים אותן. קביעה נכונה של אופן המדידה חשובה כדי למנוע עיוותים.
כשרואים בסרט מכונית נוסעת ניתן לחזות לפעמים בתופעה מוזרה: בעוד הרכב נוסע קדימה, נראה שהגלגלים מסתובבים לעתים קדימה ולעתים אחורה. זוהי אשליה אופטית בשם "אשליית גלגל העגלה" [1], והיא נגרמת מכך שקצב סיבוב הגלגלים (מספר הסיבובים בפרק זמן) גבוה ממהירות הצילום (מספר החשיפות בפרק זמן). כך, סיבוב הגלגלים בכיוון מסוים "מתחזה" לסיבוב בכיוון שונה ובמהירות שונה.
כדי להסביר את תופעת ההתחזות (aliasing) ניעזר בדוגמה "בהילוך איטי": משה סובל ממחלה מסתורית שגורמת לו למצמוצים ממושכים מהרגיל – הוא פוקח את עיניו למשך שנייה ועוצם אותן למשך 55 דקות, וחוזר חלילה. אם משה יסתכל על שעון בעל מחוג דקות בלבד, מה הוא יראה? במבט הראשון המחוג יצביע על 12. משה ימצמץ, וכשיפקח שוב את עיניו יראה את המחוג מצביע על 11, אחר כך על 10, וכולי. כלומר, בחוויה של משה המחוג נע נגד כיוון השעון!
גם כאן, כמו בדוגמת המכונית, קיימת תופעה מחזורית שמתחזה לתופעה אחרת, והתצפית מראה עיוות של המציאות. כתבנו בעבר [2] על בדיקת האולטרסאונד, ועל כך שגם בה צריך להיזהר שהמדידה לא תציג עיוות.
איך להימנע מהעיוות? תחילה נגדיר כי תופעה מחזורית היא תופעה שחוזרת על עצמה במרווחי זמן קבועים. לדוגמה, אם נעלה על הגלגל הענק בלונה-פארק ונמדוד את הגובה שלנו במהלך הסיבוב, נקבל אות (סיגנל) מחזורי, מכיוון שאנחנו עולים ויורדים שוב ושוב, ומשך הסיבוב הוא קבוע. הזמן הדרוש לנו להשלמת מחזור אחד של עלייה וירידה נקרא "זמן המחזור". התדירות מוגדרת כמספר המחזורים שאנו מבצעים ביחידת זמן אחת (למשל, 30 סיבובים לשעה). ככל שהגלגל מסתובב מהר יותר, התדירות גבוהה יותר, ואנו משלימים יותר סיבובים בפרק זמן נתון.
כדי שנחווה תופעה באופן מהימן ישנה חשיבות לתדירות שבה אנו דוגמים אותה. דגימה היא עריכת מדידה של התופעה בנקודה בזמן. מדגימות חוזרות במרווחי זמן קבועים נקבל סדרה של ערכים. בדוגמה של ידידנו משה, המחלה המסתורית מאלצת אותו לדגום בתדירות נמוכה מאוד – פעם אחת בכל 55 דקות. יש להעיר שתדירות הדגימה של משה נמוכה ביחס לתדירות של סיבוב מחוג הדקות, אבל אם למשל היה משה מעוניין לדגום את סיבוב כדור הארץ סביב השמש, תופעה שזמן המחזור שלה הוא שנה, קצב דגימה של אחת ל-55 דקות הוא מהיר מאוד.
אם כן, אנו מבינים שתדירות הדגימה צריכה להיות גבוהה ביחס לתדירות התופעה הנמדדת. עד כמה גבוהה? משפט שנון-נייקוויסט [3] קובע שכדי שלא נקבל עיוותים במדידה שלנו עלינו לדגום בקצב מהיר יותר מפי שניים מתדירות התופעה. כלומר, אם מחוג הדקות נע בקצב של סיבוב בשעה, נצטרך לדגום בקצב של יותר מפעמיים בשעה. זהו משפט חשוב בתחום שנקרא "תורת הדגימה", העוסק בעיבוד אותות. כך נקבע, לדוגמה, באיזו תדירות צריך לדגום מוזיקה כאשר מקליטים באופן דיגיטלי. כדי שלא לפגוע באיכות המקור, ההקלטה צריכה להתבצע בתדירות דגימה הגבוהה יותר מפי שניים מתדר הצליל הגבוה ביותר שהאוזן האנושית יכולה לקלוט.
כדי לקבל מושג מדוע עלינו לדגום בתדירות שהיא לפחות כפולה מתדירות התופעה, נשים לב לכך שלאות המחזורי שלנו יש ערך מקסימום וערך מינימום בכל מחזור, כלומר הערכים הקיצוניים של האות מופיעים בתדירות כפולה, ואם נדגום בתדירות נמוכה יותר, לא נוכל "לתפוס" אותם. ומדוע לא מספיק שתדירות הדגימה תהיה כפולה מתדירות התופעה, והיא צריכה להיות מעט גדולה יותר? בדוגמה של הגלגל הענק, אם נמדוד את הגובה שלנו בקצב של פעמיים בסיבוב ונבצע את המדידה הראשונה באמצע העלייה, נקבל ערך קבוע, והמדידה לא תיתן כל מידע על המסלול שאנו עוברים.
כעת, בעודי מסתובב ללא מנוח על הגלגל הענק, אני מחזיק בידי שעון בצורה אנכית, וברצוני למדוד את גובהו של קצה מחוג השניות. ערך האות בכל נקודה מורכב עכשיו משני אותות מחזוריים – הסיבוב של הגלגל והסיבוב של המחוג. ביחס לאיזו תדירות אצטרך לדגום כדי לא לאבד מידע? התשובה היא שעלי לדגום ביחס לתדירות הגבוהה יותר. הכלל הוא: אם האות שלנו הוא חיבור של כמה אותות, כדי למדוד ללא עיוותים עלינו לדגום בתדירות גבוהה כפליים ועוד קצת מהאות המהיר ביותר.
בפוסט זה הכרנו את תופעת ההתחזות (aliasing) – התעוותות של אותות מחזוריים כפי שהם נצפים במדידה. הראינו שכדי למנוע עיוותים צריך לדגום בקצב שהוא מעל לפי שניים מהתדירות של האות, וכאשר יש לנו חיבור של כמה אותות, עלינו להתייחס לאות המהיר ביותר.
אז בפעם הבאה שתראו גלגלי רכב מסתובבים לאחור זכרו שהעיניים שלנו הן שמטעות אותנו, ולא נשבר אף אחד מחוקי הפיזיקה.
עיצוב הסרטונים: שרית פולבוי
הערות והרחבות:
[2] מתמטיקה בקטנה: מכוניות ותאי דם