בעוד הקהילה המתמטית מעכלת את ההפרכה של השערת ארדש [1], מודל אחר, Fable 5 של חברת Anthropic, מצא דוגמה נגדית להשערה נוספת שעמדה ללא הכרעה. בשונה מהפעם הקודמת, שבה בדיקת ההפרכה הצריכה הבנה מתמטית עמוקה, את הדוגמה הנוכחית אפשר לבדוק בחישוב די פשוט. את התוצאה פרסם באופן אגבי למדי המתמטיקאי לבנט אלפיוגה בציוץ ברשת X, כפי שמופיע בתמונת הפוסט [2].

פרסומת

לפני שניגש להשערה ולהפרכתה, עלינו להבין מהי פונקציה, מושג המוכר לנו מהתיכון.
פונקציה היא כמו יצור שאוכל דברים מסוג מסוים ומחזיר משהו בתמורה. אפשר לחשוב על פונקציה כעל מכונה שיודעת לקבל קלט מסוג מסוים, למשל, מספר, ולהחזיר פלט מוגדר בהתאם לחוקיות מסוימת, למשל, את אותו המספר בריבוע, כמו הפונקציה המוכרת לנו  f(x) = x^2.
פונקציות לא חייבות לקלוט מספר יחיד ולהחזיר מספר יחיד: הנה דוגמה לפונקציה שיודעת לקבל שני מספרים ולהחזיר גם כן שני מספרים, למשל, את המספר הראשון ואת הסכום של שני המספרים: f(x,y) = (x, x+y).
לעומת פונקציות של משתנה אחד המוכרות לנו מהתיכון, זוהי פונקציה של שני משתנים, וגם הפלט שלה מורכב מזוג מספרים. באותה מידה יכלה הפונקציה להחזיר מספר יחיד או שלושה, לפי איזשהו כלל. פונקציות גם יכולות לקלוט ולהחזיר אובייקטים אחרים.

אחת התכונות החשובות שיכולות להיות לפונקציה היא הֲפִיכוּת: פונקציה נקראת הפיכה אם אפשר למצוא פונקציה נוספת, ה"הוֹפְכִית" שלה, שעושה בדיוק את הפעולה ההפוכה ומחזירה הכול לקדמותו (בנוסף, זה צריך לעבוד גם לכיוון השני, כלומר באופן הדדי). זה נשמע מופשט מדי, אז נביט בכמה דוגמאות.
ניקח פונקציה שלוקחת מספר ומוסיפה לו 1: f(x) = x+1. יש לפעולה זו פעולה הפוכה ולכן גם פונקציה הופכית: הפעולה שלוקחת מספר ומחסרת ממנו 1, זוהי: g(x) = x-1.
אם ניקח משתנה כלשהו ונפעיל עליו תחילה את f (נחבר 1) ואז את g (נחסר 1), נחזור בחזרה לאותו ערך התחלתי. משמע, הפעולה של g ביטלה את הפעולה של f (זה עובד גם בסדר ההפוך: אם תחילה נפעיל את g ואחריה את f, נחזור חזרה לקלט ההתחלתי). הפונקציות הללו הן הופכיות אחת של השנייה!

לעומת זאת, הפונקציה f(x) = x^2, אם נתייחס בה לכל x על ציר המספרים, לא יכולה להיות הפיכה. למה? גם 2 וגם 2- מועברים שניהם בהפעלת הפונקציה למספר 4. זה אומר שאם ננסה למצוא פונקציה הופכית, היא לא תדע מה לעשות עם ה-4 הזה: איזה מספר עליה לפלוט כדי להחזיר הכול לקדמותו, את 2 או את מינוס 2? כך שלא קיימת פונקציה הופכית ל-f, אלא אם נצמצם את ההסתכלות רק לקלטים אי-שליליים או רק לאי-חיוביים.

ובאופן כללי, אם פונקציה מסוימת "מדביקה" שני קלטים לאותו פלט, לא תהיה לה הופכית (פונקציה שלא "מדביקה" כמה קלטים לאותו פלט היא פונקציה חד-חד-ערכית, ראו איור 1).

איור 1: פונקציה שאינה חד-חד ערכית - אין לה הופכית, כי יש שני קלטים שמובילים לאותו פלט.

מעניין לשים לב לנגזרת של f(x) = x^2: היא שווה ל-2x ומתאפסת ב-0, שהוא גם ה"מעבר" בין שני האזורים אשר בכל אחד מהם בנפרד כן קיימות פונקציות הופכיות.
נחזור להשערה שהופרכה. ההשערה מתייחסת לפונקציות שקולטות כמה מספרים, ומחזירות את אותה כמות מספרים, ונוסף על כך מורכבות מפולינומים, כלומר שילובי כפל וחיבור של חזקות של המשתנים. ההנחה בהשערה היא ש"היעקוביאן" של הפונקציה לא מתאפס ושווה למספר קבוע. היעקוביאן הוא אובייקט המשלב בצורה מסוימת את כל הנגזרות של הפונקציה לפי כל משתניה, ואפשר לומר שהוא הכללה רב-ממדית מסוימת של הנגזרת.
ההשערה גורסת שתחת ההנחה שהיעקוביאן של הפונקציה לא מתאפס ושווה למספר קבוע, הפונקציה חייבת להיות הפיכה.

עבור פונקציה של משתנה אחד, אפשר להשתכנע שההשערה נכונה: אם לפונקציה נגזרת קבועה שאיננה אפס, אז מדובר למעשה בפונקציה ליניארית (מהסוג f(x) = mx+n), עם גרף שאיננו מקביל לציר x, ולכזו תמיד יש הופכית (ראינו למשל את ההופכית של f(x) = x+1. באופן דומה אפשר לפתח גם נוסחה כללית להופכית של פונקציה מסוג זה).
ההנחה שהיעקוביאן לא מתאפס באף נקודה מקבילה במובן מסוים להנחה במשתנה אחד שהנגזרת לא מתאפסת, אבל כשיש כמה משתנים, העניינים מסובכים יותר, ואי אפשר להשליך ממשתנה אחד על מצב רב-ממדי.

במשתנה אחד, אם הנגזרת לא מתאפסת בנקודה מסוימת, זה אומר שלפונקציה יש נטייה לעלות או לרדת (כלומר לא להיתקע במקום) - מה שאומר שקרוב לנקודה שבה הנגזרת אינה אפס, הפונקציה היא הפיכה, כי לא תתרחש "הדבקה" של נקודות לאותו קלט. זה נקרא "הפיכות מקומית", כלומר הפיכות רק בקרבת הנקודה שבה הנגזרת לא מתאפסת. למשל, הפונקציה איקס בריבוע הפיכה מקומית בכל נקודה שאיננה 0 (לעומת זאת, אין הפיכות מקומית ב-0, כי בכל סביבה של אפס תמיד ניתקל בתופעה של "הדבקת" שני קלטים לפלט זהה).
בתוספת עוד כמה שיקולים [3], אפשר לנסח את ההשערה בצורה אחרת: אם פונקציה מהסוג הנ"ל היא הפיכה מקומית, אז היא חייבת להיות הפיכה (במובן גלובלי).
ובדיוק כאן מודל השפה סיפק דוגמה נגדית: הוא יצר דוגמה לפונקציה של שלושה משתנים שלא מקיימת את הטענה הזאת. חישובים פשוטים של שלל הנגזרות מראים שהיעקוביאן שלה הוא קבוע שאיננו אפס (כלומר, ישנה הפיכות מקומית). אבל בעזרת הצבה פשוטה רואים מיד שהפונקציה מעבירה שלוש נקודות שונות לאותה הנקודה בדיוק, וכפי שלמדנו - זה אומר שהיא לא יכולה להיות הפיכה!

נעיר שהבינה הפריכה את ההשערה עבור שלושה משתנים ומעלה, אבל ההשערה עודנה פתוחה במצב של שני משתנים. האם תוכלו להכריע בה?

תודה לד"ר יניב גנור על הערותיו המקצועיות ועל סיועו בהכנת הפוסט.

עריכה: שיר רוזנבלום-מן

מקורות לקריאה נוספת:

1. פוסט על השערה של ארדש, ההשערה המשמעותית הראשונה שהופרכה על ידי מודל בינה מלאכותית. 
2. הציוץ של המתמטיקאי Levent Alpöge שפרסם את הפרכת ההשערה הנוכחית.  
3. רשומה בבלוג של המתמטיקאי טרנס טאו בנוגע להפרכת השערת היעקוביאן, שעליה מתבסס פוסט זה.